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1、试题题目:已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-2,..

发布人:繁体字网(www.fantizi5.com) 发布时间:2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点分别为F1(-
2
,0)
F2(
2
,0)
,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设点N(3,2),记直线AN,BN的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值.

  试题来源:朝阳区一模   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:椭圆的标准方程及图象



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)依题意,c=
2
,a2-b2=2,
∵点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直,
∴b=|OM|=1,
a=
3
.…(3分)
∴椭圆的方程为
x2
3
+y2=1
.…(4分)
(II)①当直线l的斜率不存在时,由
x=1
x2
3
+y2=1
解得x=1,y=±
6
3

A(1,
6
3
)
B(1,-
6
3
)
,则k1+k2=
2-
6
3
2
+
2+
6
3
2
=2
为定值.…(5分)
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y=k(x-1).
将y=k(x-1)代入
x2
3
+y2=1
整理化简,得(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0.…(6分)
依题意,直线l与椭圆C必相交于两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=
6k2
3k2+1
x1x2=
3k2-3
3k2+1
.…(7分)
又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
所以k1+k2=
2-y1
3-x1
+
2-y2
3-x2
=
(2-y1)(3-x2)+(2-y2)(3-x1)
(3-x1)(3-x2)

=
[2-k(x1-1)](3-x2)+[2-k(x2-1)](3-x1)
9-3(x1+x2)+x1x2
=
12-2(x1+x2)+k[2x1x2-4(x1+x2)+6]
9-3(x1+x2)+x1x2

=
12-2(x1+x2)+k[2×
3k2-3
3k2+1
-4×
6k2
3k2+1
+6]
9-3×
6k2
3k2+1
+
3k2-3
3k2+1
=
12(2k2+1)
6(2k2+1)
=2
..….…(13分)
综上得k1+k2为常数2..….…(14分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-2,..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中椭圆的标准方程及图象”。


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